I molteplici campi – economico, biologico, fisico -in cui si applicano modelli esponenziali possono essere considerati un punto di partenza motivante per l’avvio allo studio delle crescite e delle funzioni esponenziali. A partire dall’analisi di modelli discreti, si definiscono le proprietà caratteristiche delle successioni esponenziali, passando poi all’esame di modelli continui, che consentono di definire la funzione esponenziale come quella funzione la cui velocità di crescita è proporzionale alla funzione stessa. Tematica affrontata: introduzione delle funzioni esponenziali dal discreto al continuo e analisi delle loro variazioni. Nodi concettuali: • Modelli discreti e continui di andamenti esponenziali. • Proprietà qualitative di una funzione esponenziale. • Proprietà locali e globali di una funzione esponenziale da un punto di vista numerico grafico e simbolico. • Risoluzione di equazioni esponenziali con metodi numerici, grafici e simbolici. • Differenza tra variabile e parametri di una stessa espressione. Grado scolastico: scuola secondaria di secondo grado – II biennio Tempo medio per svolgere l’attività: 10 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

Si descrive, prima nel linguaggio comune, l’oscillazione di una massa appesa all’estremo libero di una molla, allo scopo di individuare le grandezze più significative; in seguito la descrizione prosegue con un sistema dinamico discreto per studiare, con l’aiuto di un foglio elettronico, l’evoluzione delle grandezze individuate. Si introducono quindi le funzioni seno e coseno con le loro proprietà caratteristiche. Infine si propongono alcune attività di applicazione a situazioni realistiche del modello costruito. Tematica affrontata: introduzione delle funzioni armoniche a partire dall’analisi di un sistema massa-molla ideale. Nodi concettuali: • Modelli discreti e continui di fenomeni oscillatori. • Proprietà qualitative di una funzione armonica e suo grafico. • Proprietà locali e globali di una funzione armonica dai punti vista numerico, grafico e simbolico. • Risoluzione di equazioni e di disequazioni goniometriche con metodi numerici, grafici e simbolici. • Equazioni parametriche come strumento per descrivere una circonferenza. • Differenza tra variabili e parametri in una stessa espressione. Grado scolastico: scuola secondaria di secondo grado – II biennio Tempo medio per svolgere l’attività: 15 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

Viene esaminato un moto parabolico attraverso la sua scomposizione in due moti indipendenti, descritti attraverso le leggi orarie del moto rettilineo uniforme e del moto rettilineo uniformemente accelerato. Questo consente di introdurre il modello matematico delle equazioni parametriche per descrivere la traiettoria di un moto. L’osservazione grafica e il passaggio alla forma cartesiana confermano che la traiettoria è descritta dall’arco di una funzione quadratica. Le rappresentazioni parametrica e cartesiana consentono di mettere in evidenza aspetti diversi del fenomeno. Il successivo studio del moto parabolico al variare dell’angolo di lancio introduce a un uso strumentale di semplici funzioni goniometriche. Tematica affrontata: funzioni in forma parametrica e in forma cartesiana per descrivere il moto parabolico. Nodi concettuali: • Modello continuo quadratico. • Proprietà qualitative di una funzione quadratica e suo grafico. • Proprietà locali e globali di una funzione quadratica dal punto di vista numerico, grafico e simbolico. • Risoluzione di equazioni e disequazioni lineari e quadratiche con metodi numerici, grafici e simbolici. • Equazioni parametriche come strumento per descrivere una funzione quadratica. • Differenza tra variabili e parametri in una stessa espressione. Grado scolastico: secondaria di II grado – II biennio Tempo medio per svolgere l’attività: 12 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività propone alcune situazioni problematiche che hanno a che fare con funzioni quadratiche attraverso l’uso di questo tipo di funzioni come modelli per affrontare problemi relativi a situazioni realistiche. Essa consente di introdurre e consolidare conoscenze legate allo studio degli zeri, del segno e del valore di massimo o di minimo di una funzione quadratica. Le tecnologie utilizzate (software di geometria dinamica, fogli elettronici, calcolatrici grafiche), grazie agli ambienti integrati e alle risorse che mettono a disposizione dell’utente, sono veri e propri strumenti didattici per la costruzione di significati degli oggetti di studio. Come in tutte le altre attività, anche in questa si cerca di favorire l’uso di differenti registri di rappresentazione, in particolare di quelli numerici, grafici e simbolici. Tematica affrontata: relazioni e funzioni; geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado; – usare lo strumento algebrico come linguaggio per rappresentare formalmente gli oggetti della geometria elementare; – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e per definire relazioni e funzioni; – risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano mediante equazioni, disequazioni, funzioni; – usare strumenti informatici per la rappresentazione di relazioni e funzioni; – scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche per affrontare problemi di varia natura in contesti diversi. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6-8 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività costituisce un esempio di come sia possibile consolidare la conoscenza del concetto di funzione attraverso la costruzione di un modello per affrontare problemi relativi a diete alimentari, quindi in un contesto scientifico anche se strettamente legato a situazioni di vita quotidiana. Il passaggio alla formalizzazione avviene gradualmente, con la costante attenzione a mantenere un forte controllo del significato dei simboli, grazie anche all’uso di registri di rappresentazione grafico-numerici. L’attività può essere pensata in naturale continuità con quella realizzata per il terzo anno di scuola secondaria di primo grado, “Diete alimentari I“; al tempo stesso può essere estesa, portando ad affrontare problemi di ottimizzazione di complessità elevata per l’età degli studenti. Tali problemi potranno essere trattati e approfonditi in indirizzi scientifico-tecnologici o negli anni successivi a quelli del biennio.  Tematica  affrontata: relazioni e funzioni; numeri. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e per definire relazioni e funzioni; – risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano mediante equazioni, disequazioni o funzioni; – usare strumenti informatici per la rappresentazione di relazioni e funzioni; – usare consapevolmente strumenti di calcolo automatico; – usare il linguaggio degli insiemi e delle funzioni per parlare di oggetti matematici e per descrivere situazioni e fenomeni naturali e sociali; – scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche per affrontare problemi di varia natura in contesti diversi. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6-8 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività propone lo studio di due sistemi dinamici discreti lineari. Il primo di essi, più semplice, ha come modello una successione esponenziale decrescente, in quanto riguarda lo smaltimento di una quantità di penicillina tra un’assunzione e la successiva, sapendo che il corpo riesce a smaltirne, ogni ora, una percentuale costante. Il secondo, più complesso, riguarda l’evoluzione, a lungo termine, della quantità di farmaco nel sangue sapendo che tale farmaco viene assunto periodicamente in quantità costante e che, immediatamente prima dell’inizio della successiva assunzione, il corpo riesce a smaltire una percentuale costante di farmaco presente. L’attività consente di utilizzare, in un contesto significativo e realistico, le nozioni di funzione, di successione, di crescenza e decrescenza di una successione, di differenze finite per lo studio del tipo di crescenza, nonché di utilizzare procedure di calcolo e semplici algoritmi per affrontare problemi relativamente complessi. L’uso delle tecnologie informatiche consente di mettere in evidenza la ricchezza di un approccio integrato al concetto di funzione con registri di rappresentazione diversi, come quelli della lingua naturale, numerico, grafico e simbolico. Tematica affrontata: relazioni e funzioni; numeri; algoritmi e strutture. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – usare consapevolmente gli strumenti di calcolo; – usare lettere per esprimere in forma generale semplici proprietà e regolarità (numeriche, geometriche, fisiche, …); – riconoscere, in fatti e fenomeni, relazioni tra grandezze; – usare coordinate cartesiane, diagrammi, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni; – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e per definire relazioni e funzioni; – usare strumenti informatici per la rappresentazione di relazioni e funzioni; – usare consapevolmente strumenti di calcolo automatico; – usare il linguaggio degli insiemi e delle funzioni per parlare di oggetti matematici e per descrivere situazioni e fenomeni naturali e sociali. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 3 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività propone la costruzione di un modello matematico, che fa uso di funzioni lineari e funzioni lineari a tratti, in un contesto sicuramente familiare agli studenti: quello della scelta, in base alla tariffa più conveniente, fra diverse offerte di contratti telefonici. Oltre a consentire di introdurre, oppure di consolidare, la conoscenza delle funzioni lineari, l’attività persegue un obiettivo di più vasta portata: suggerire l’uso di conoscenze e competenze matematiche per effettuare valutazioni ragionate e consapevoli in situazioni di vita quotidiana che richiedono scelte. Il processo di costruzione del modello matematico avviene, come nelle altre attività, gradualmente, mediante l’uso di diversi registri che vanno dal linguaggio naturale ai registri grafico e numerico per giungere infine a quello simbolico. Tematica affrontata: relazioni e funzioni. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado; – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e per definire relazioni e funzioni; – risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano mediante equazioni, disequazioni, funzioni; – usare strumenti informatici per la rappresentazione di relazioni e funzioni; – scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche per affrontare problemi di varia natura in contesti diversi.  Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 4-8 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività si riferisce al nodo concettuale funzioni lineari e si può considerare come naturale proseguimento dell’attività “Introduzione al concetto di funzione“, senza però esserne dipendente. È costruita in continuità verticale: da una parte fa riferimento alla proporzionalità diretta (tematica già della scuola secondaria di primo grado) per lo studio delle funzioni lineari, dall’altra pone una forte attenzione agli aspetti qualitativi dei grafici e alla connotazione funzionale anche nella risoluzione di equazioni e disequazioni per preparare il terreno allo studio delle funzioni con l’analisi matematica. L’attività non introduce la retta come oggetto della geometria analitica ma esamina il modello lineare nei suoi vari aspetti in relazione principalmente a situazioni-problema incentrate sugli oggetti matematici. Gli studenti dovrebbero essere capaci, alla fine del percorso, di associare al registro grafico dell’allineamento di punti con l’origine il registro numerico di proporzionalità diretta, la formula y = ax e i significati di pendenza e di quota. Tematica affrontata: relazioni e funzioni. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – in situazioni problematiche, individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura; – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e per definire relazioni e funzioni; – leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni; – risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano mediante equazioni e disequazioni di primo grado. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6-8 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

Il concetto di funzione è uno dei nodi più significativi che gli studenti incontrano nel loro percorso scolastico. Per evitare di correre il rischio di limitarsi a ripetere definizioni formalmente corrette ma vuote di significato, l’attività propone esperienze per una prima trattazione sistematica, esplicita e consapevole della nozione di funzione. Con l’obiettivo di costruire significati per il concetto di funzione, sono presentate situazioni legate al movimento, in particolare all’idea di una grandezza che varia nel tempo o ad alcune curve tracciate da punti in movimento. Le diverse rappresentazioni delle funzioni (numeriche, grafiche e simboliche) sono utilizzate da subito per evitare di confondere il concetto di funzione con una delle sue rappresentazioni. Il percorso proposto presta particolare attenzione allo sviluppo, da parte degli studenti, di un linguaggio adeguato (prima il linguaggio naturale e poi quello matematico) per descrivere qualitativamente l’andamento delle funzioni in termini di crescenza o decrescenza e di modalità di crescita. Tematica affrontata: relazioni e funzioni. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – in situazioni problematiche, individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura; – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e per definire relazioni e funzioni. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6-8 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività, in continuità con le “Introduzione al concetto di funzione” e “Allineamenti: esploriamo le funzioni lineari” legata al nodo concettuale funzioni quadratiche, rafforza il concetto di funzione e l’uso dei suoi diversi registri rappresentativi. A partire dal problema di analisi della spesa per la pavimentazione delle aule di una scuola, si esplorano gli andamenti delle funzioni quadratiche attraverso il confronto tra la rappresentazione grafica e il segno delle differenze prime, legate alla crescenza/decrescenza, e le differenze seconde costanti, che denotano una crescita/decrescita lineare. Lo studio delle funzioni quadratiche è ampliato dalla discussione di questioni legate all’osservazione del cambiamento dei grafici per effetto delle traslazioni e all’analisi qualitativa dei grafici rispetto alla ricerca di simmetrie, di punto di massimo/minimo, di zeri. Tematica affrontata: relazioni e funzioni. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – in situazioni problematiche, individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura; – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e definire relazioni e funzioni; – leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni; – risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano mediante equazioni e disequazioni di secondo grado. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 8-10 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.