L’attività è proposta per gli studenti del primo anno del secondo biennio della scuola secondaria di secondo grado. Il contesto è quello delle coniche nell’ambito della geometria. L’obiettivo è quello di evidenziare la natura delle coniche come sezioni e come luoghi geometrici e di favorire la comprensione del passaggio alle loro equazioni. Come prerequisiti sono necessari la conoscenza delle equazioni di primo e di secondo grado, del piano cartesiano e dell’equazione della retta nel piano. Lo strumento privilegiato per svolgere il lavoro previsto è un software di geometria dinamica, che permette facilmente di costruire e visualizzare le coniche, sia nel piano che nello spazio. Tematica affrontata: le coniche Nodi concettuali: • Sezioni coniche con approccio intuitivo mediante l’uso di materiale di vario tipo, l’osservazione di immagini di oggetti o di ombre in situazioni reali, la visualizzazione di figure e di animazioni ottenute con software di geometria dinamica. • Sezioni coniche come intersezione cono-piano nell’ambito della geometria sintetica. • Coniche come luoghi geometrici anche con l’ausilio di un opportuno software di geometria. • Circonferenza, parabola, ellisse, iperbole nell’ambito della geometria analitica. Grado scolastico: scuola secondaria di secondo grado – II biennio – classe III Tempo medio per svolgere l’attività: 8-10 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività propone lo studio della trigonometria e delle sue applicazioni, con approfondimento delle funzioni circolari. L’attività può essere proposta nel secondo biennio, quando gli studenti conoscono gli elementi fondamentali di geometria piana, in particolare le similitudini. Prerequisiti necessari per lo svolgimento dell’argomento sono le similitudini nel piano e la conoscenza del concetto di funzione. Tematica affrontata: I triangoli, le funzioni circolari e loro applicazioni Nodi concettuali: • Angolo e sua misura in gradi o radianti. • Seno, coseno, tangente di un angolo: definizioni, teoremi e applicazioni. • Funzioni seno, coseno, tangente: rappresentazioni grafiche, teoremi, applicazioni. Grado scolastico: secondaria di II grado – II biennio – classi III e IV Tempo medio per svolgere l’attività: 6-8 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività è proposta per il I oppure per il II anno del secondo biennio della scuola secondaria di II grado. Si ritiene fondamentale per svolgere il percorso l’uso di un software di geometria 3D oltre all’uso di materiale concreto (cartoncino; modelli di poliedri; ecc.). Prerequisito necessario è la conoscenza di alcuni elementi della geometria piana e di trigonometria. Il contesto iniziale può essere tratto dalla realtà, come ad esempio alcune costruzioni architettoniche, ma poi diventa di carattere matematico. Tematica affrontata: Avvio allo studio della geometria dello spazio. Nodi concettuali: • Oggetti geometrici nello spazio. • Parallelismo e perpendicolarità nello spazio. • Posizioni reciproche di piani, di rette e di piani e rette nello spazio. • Diedri e angoloidi; proprietà fondamentali. Grado scolastico: secondaria di II grado – II biennio – classe III oppure classe IV Tempo medio per svolgere l’attività: 5-8 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività si riferisce al nodo concettuale delle isometrie (simmetrie assiali), per comprendere situazioni e risolvere problemi, nodo sviluppato in contesto geometrico che tocca proprietà del triangolo come la disuguaglianza triangolare. Si propone di modellizzare il fenomeno della formazione delle immagini in uno specchio piano, attraverso l’uso di strumenti e strategie diversi. Si invitano gli studenti a esplorare le situazioni geometriche, procedendo dall’intuizione alla scoperta di proprietà. Nella fase iniziale si conducono gli studenti a riflettere sul significato di valore minimo; nella fase esplorativa e di modellizzazione sono usati non solo strumenti classici, come riga e goniometro, ma anche vario materiale povero e software di geometria, allo scopo di aiutare gli studenti a giustificare le congetture formulate.  Tematica affrontata: simmetrie di figure nello spazio, geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – analizzare e risolvere problemi del piano e dello spazio utilizzando le proprietà delle figure geometriche oppure le proprietà di opportune isometrie; – realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando strumenti diversi (riga e compasso, software di geometria, …);  – utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per rappresentare formalmente gli oggetti della geometria elementare. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 5 ore   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività si colloca all’interno di un percorso che ha come obiettivo primario l’introduzione alla dimostrazione, guidando gli studenti al nodo concettuale dell’assiomatica, che si basa su premesse accettate, definizioni e proprietà da dimostrare. Dando per noti i concetti di perpendicolare e bisettrice, lo studente affronta una situazione problematica sulla relazione tra bisettrice e altezza di un triangolo isoscele, con l’uso di un software di geometria dinamica. Per avviare una riflessione collettiva sulla differenza tra le forme spontanee di argomentazione e le modalità specifiche di una argomentazione matematica, è cruciale il ruolo dell’insegnante nella discussione matematica. Tematica affrontata: triangoli, geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando anche strumenti informatici; – comprendere dimostrazioni e sviluppare semplici catene deduttive; – analizzare e risolvere problemi del piano e dello spazio utilizzando le proprietà delle figure geometriche oppure le proprietà di opportune isometrie. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 3-4 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività si riferisce al nodo concettuale della modellizzazione di situazioni nel piano cartesiano, sviluppato tramite attività di moto, in cui si rilevano i dati di posizione e tempo in situazioni diverse. Tale campo di esperienza è particolarmente ricco se esplorato mediante la tecnologia di sensori di moto collegati con computer o calcolatrici e offre la possibilità agli studenti di costruire significati relativi non solo alla legge oraria e alla traiettoria (con le relative corrispondenze e diversità), ma anche significati di pendenza e variazione di pendenza, fondamentali per introdurre allo studio di funzioni che sarà affrontato negli anni successivi. In tal modo si affronta la relazione tra grandezze – evitando il misconcetto del grafico orario come rappresentazione fisica della traiettoria – attraverso l’analisi di grafici sul concetto di pendenza, che è la radice cognitiva fondamentale per affrontare successivamente il concetto di derivata. Tematica affrontata: geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – in situazioni problematiche, individuare le relazioni significative tra grandezze di varia natura (variazione di una grandezza in funzione di un’altra, …); – scegliere, costruire, utilizzare strumenti per effettuare misure dirette o indirette di grandezze; – utilizzare in modo appropriato le funzioni di misura fornite dai software; – costruire modelli a partire da dati utilizzando le principali famiglie di funzioni (lineare, quadratica); – rappresentare le variazioni di grandezze in funzione di altre; – confrontare le variazioni di grandezze utilizzando i concetti di pendenza e di variazione di pendenza. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività si riferisce al nodo concettuale della variazione di grandezze geometriche, con la conseguente individuazione di relazioni tra esse, espresse tramite funzioni. La situazione problematica proposta ha lo scopo di indagare sulla variazione di tre tipi di funzione, che sono rispettivamente lineare, quadratica ed esponenziale. La risoluzione del problema impegna gli studenti nell’esprimere tale variazione non solo in termini ricorsivi, ossia ponendo un valore in funzione del precedente, ma anche in termini di formula, espressa tramite una funzione che lega le due variabili in gioco. Lo scopo è quello di far riflettere sui diversi modi di variazione tra grandezze, che non si riduce (come spesso ingenuamente credono gli studenti) a quello lineare, ma può essere più complicato. Il confronto tra le diverse funzioni rende conto dei diversi andamenti e costringe a una riflessione sulla rappresentazione numerica, simbolica e grafica che anticipa gli studi successivi indirizzati all’analisi matematica. Tematica affrontata: geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – risolvere problemi in cui sono coinvolte le misure di grandezze geometriche elementari; – utilizzare in modo appropriato le funzioni di misura fornite dai software didattici più diffusi (foglio elettronico, software di geometria dinamica); – costruire modelli matematici a partire da alcuni dati noti utilizzando semplici funzioni polinomiali ed espondenziali. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 4 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività ricorre al tangram per affrontare il nodo concettuale delle tassellazioni in un contesto di gioco, con lo scopo di sviluppare i nodi concettuali: dell’equiestensione e dell’equivalenza di figure piane; dell’equiestensione e dell’isoperimetria di varie figure; dell’area e del perimetro di figure geometriche compostein relazione alla lunghezza di alcuni loro elementi lineari; delle proprietà delle similitudini come “teoremi in atto” per risolvere le situazioni problematiche proposte; del teorema di Pitagora, applicato per ricavare relazioni tra lati di triangoli al fine di risolvere i problemi di cui ai punti precedenti. Gli allievi sono coinvolti nell’individuare e riconoscere proprietà di figure del piano, invarianti per isometrie nel piano, non solo, ma anche nell’applicare isometrie per risolvere semplici problemi, riconoscendo poligoni equiscomponibili. Le varie fasi dell’attività si legano alla controparte algebrica, in cui gli allievi sono coinvolti nel formalizzare gli oggetti della geometria elementare e nel passare da una rappresentazione all’altra in modo consapevole e motivato. Tutto ciò al fine di favorire il collegamento tra registri diversi per la rappresentazione degli stessi oggetti matematici. Tematica affrontata: similitudini; aree di figure piane; geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – individuare e riconoscere le proprietà di figure del piano; – individuare le proprietà e le invarianti per isometrie nel piano; – analizzare e risolvere semplici problemi mediante l’applicazione delle isometrie; – riconoscere e costruire poligoni equiscomponibili; – utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per formalizzare gli oggetti della geometria elementare e passare da una rappresentazione all’altra in modo consapevole e motivato. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6-8 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività prende spunto da due precedenti: una sull’area di “Matematica 2001” e una sulle crescite lineari e quadratiche di aree di “Matematica 2003”, per sviluppare il nodo concettuale dell‘area di figure piane. Essa costituisce una buona occasione per ricavare direttamente l’area di superfici a partire da esperienze di misure dirette tramite approssimazioni per eccesso e per difetto, in modo da passare successivamente a misure indirette di aree di figure poligonali con l’uso di formule, procedimenti e regole tipiche della geometria. L’attività si conclude ripercorrendo il procedimento di Archimede per determinare un’approssimazione, per difetto e per eccesso, dell’area del cerchio. In tal modo viene toccato il nodo concettuale del numero pi greco come rapporto tra area e quadrato del raggio, quindi il nodo di numero reale a partire da un’esperienza di misura. Con questo percorso, che tocca l’area del cerchio tramite procedimenti “al limite”, gli allievi possono costruire il significato di numero reale basato sul risultato di una serie di approssimazioni per eccesso e per difetto, che costituisce una radice cognitiva del suo significato più teorico, di elemento di separazione di classi contigue di numeri razionali. Tematica affrontata: aree, geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – scegliere, costruire, utilizzare, costruire strumenti per effettuare misure dirette o indirette di grandezze; – utilizzare in modo appropriato le funzioni di misura fornite dai software di geometria; – riconoscere e costruire poligoni equiscomponibili; – calcolare le aree di poligoni; – determinare in modo approssimato l’area di un cerchio e l’area di un segmento parabolico. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 5-6 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività è centrata sul nodo concettuale delle similitudini, mediante l’analisi di situazioni reali, fino ad affrontare il nodo cruciale del teorema di Talete, unitamente alle sue conseguenze nel piano, per favorire la consapevolezza del suo ruolo fondamentale nella geometria piana. Gli allievi sono coinvolti in situazioni problematiche in cui devono individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura (proporzionalità diretta, …), quindi costruire modelli a partire da dati utilizzando le principali famiglie di funzioni (lineari, …) e infine distinguere tra modelli additivi e modelli proporzionali. In tal modo essi entrano nello specifico delle similitudini, da un punto di vista teorico, analizzandone proprietà e invarianti e collegandole alle situazioni reali ad esse riconducibili. Successivamente possono affrontare e risolvere semplici problemi in cui siano coinvolte le similitudini. Tematica affrontata: similitudine, geometria. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – in situazioni problematiche, individuare le relazioni significative tra grandezze di varia natura (proporzionalità diretta, ecc); – costruire modelli a partire da dati utilizzando le principali famiglie di funzioni (lineari, …); – distinguere tra modelli additivi e modelli proporzionali; – individuare nel mondo reale situazioni riconducibili alla similitudine e descrivere le figure con la terminologia specifica; – individuare proprietà e invarianti per similitudine; – analizzare e risolvere semplici problemi mediante l’applicazione delle similitudini. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 5-6 ore Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.