Le attività partono da una breve sintesi storica che inquadra il problema complessivo della natura dei numeri, che ha avuto inizio con la scoperta dei numeri irrazionali da parte della scuola pitagorica. Si passa poi ad analizzare più in dettaglio i numeri costruibili con riga e compasso, che sono un sottoinsieme dei numeri algebrici. Così si studiano la radice di 2 e il rapporto aureo come esempi di numeri irrazionali ma che sono soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi. Infine, si studiano π ed e come esempi di numeri trascendenti, con cenni a storia, approssimazioni successive, crescite esponenziali ecc. Tematica affrontata: Numeri algebrici e trascendenti: un ulteriore approfondimento sulla natura dei numeri reali. Il numero pi-greco e il numero e nella storia: calcolo e applicazioni. Nodi concettuali: • Risistemazione dell’insieme dei numeri reali con la classificazione tra numeri algebrici e trascendenti. • Casi notevoli di numeri algebrici: i numeri costruibili con riga e compasso. • I numeri trascendenti: da π a e. Nascita e sviluppo di un concetto. Grado scolastico: scuola secondaria di secondo grado – II biennio – proponibile in classe IV Tempo medio per svolgere l’attività: 6-8 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

Le attività prendono avvio con un problema sugli anagrammi per arrivare alla definizione ricorsiva del fattoriale. Altri esempi portano ad introdurre il Principio d’induzione. Si usa tale principio, incluso tra gli Assiomi di Peano, per dimostrare alcune proprietà delle successioni aritmetiche e geometriche. Si esamina l’uso del principio di induzione come metodo dimostrativo in numerosi casi semplici e in diversi contesti. Sono presentati anche casi in cui il principio non è applicabile. L’attività si conclude con un’applicazione del principio di induzione alla costruzione di algoritmi ricorsivi. Tematica affrontata: Il principio d’induzione e la sua applicazione a semplici dimostrazioni. Relazioni tra il principio d’induzione e l’iterazione e la ricorsione nella descrizione di algoritmi. Concetti di algoritmo iterativo e di algoritmo ricorsivo. Nodi concettuali: • Il principio d’induzione e la struttura dei numeri naturali. • Definizioni ricorsive. • Dimostrazioni per induzione e confronto con altre forme di dimostrazione. • Algoritmi ricorsivi. Grado scolastico: scuola secondaria di secondo grado – II biennio – proponibile anche in classe III Tempo medio per svolgere l’attività: 8 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

Le attività prendono avvio da un approccio storico alla risoluzione delle equazioni polinomiali. Dalla forma algebrica si passa subito alla rappresentazione nel piano cartesiano: con un software di geometria dinamica sono proposte le costruzioni che realizzano le operazioni (addizione, moltiplicazione, reciproco e divisione). Si esaminano le varie situazioni che si presentano con il supporto dello strumento grafico. Tematica affrontata: I numeri complessi come estensione del campo R. Loro rappresentazioni sul piano cartesiano. Numeri complessi come vettori del piano e in forma trigonometrica. Nodi concettuali: • Introduzione e proprietà dei numeri complessi. • Legami fra le varie rappresentazioni. • Interpretazione di proprietà algebriche in termini geometrici. • Differenza tra la struttura dei reali e quella dei complessi. Grado scolastico: scuola secondaria di secondo grado – II biennio – usualmente classe IV Tempo medio per svolgere l’attività: 8-10 ore Questo oggetto è stato realizzato nel 2013 da INDIRE con i fondi stanziati dal MIUR – Uff. VI nell’ambito del progetto "M@t.abel – Apprendimenti di Base".   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

Giochi di “magia matematica” e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all’introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente (“mettere in formula”) un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell’algebra supera quello dell’aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell’attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Tematica affrontata: numeri e algoritmi. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; – saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 5-6 ore. Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

A ogni livello scolastico il risolvere problemi offre occasioni importanti per costruire nuovi concetti e abilità, e per arricchire di significati concetti già appresi. Qui si propongono due problemi, il primo semplice e il secondo più complesso, per un’attività centrata sulla traduzione dal linguaggio naturale, in cui sono formulati i problemi, al linguaggio algebrico, che ne permette la soluzione. Il contesto scelto è linguistico: il fulcro dell’attenzione didattica si sposta così dagli algoritmi risolutivi di equazioni e sistemi alla traduzione e messa in formula dei problemi. È in questo passaggio, infatti, che si concentrano le maggiori difficoltà degli studenti, come rilevato anche dalle prove internazionali. Insistendo troppo sulla sola risoluzione di equazioni e sistemi, slegati da un contesto problematico, si rischia di far percepire la matematica solo come strumento operativo. Occorre, invece, presentarla anche come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali: in altre parole, la matematica va presentata come palestra di ragionamento e non come collezione di ricette di calcolo. Tematica affrontata: numeri, algoritmi, strutture; relazioni e funzioni; forme dell’argomentazione e strategie del pensiero matematico. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – linguaggio naturale e linguaggio simbolico, linguaggio dell’algebra elementare, ecc.; – usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per indicare e per definire relazioni e funzioni; – impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado; – risolvere, per via grafica o algebrica, problemi che si descrivono mediante equazioni, disequazioni, funzioni. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 2 ore (un’ora per problema). Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività può essere vista come un completamento di quella intitolata “Il foglio A4”. Si propone una sistemazione dei concetti relativi all’ordine e alla densità degli insiemi numerici, e alla compatibilità delle operazioni, in particolare della moltiplicazione, rispetto all’ordine. Le proposte di laboratorio ruotano attorno alla rappresentazione dei numeri sulla retta, a partire dai razionali, per estendersi poi ad alcuni numeri irrazionali (le radici quadrate di naturali) ed infine ai reali. Un percorso guidato mira a superare le difficoltà degli alunni nel corretto confronto fra frazioni e numeri decimali. Si esaminano situazioni che sono spesso causa di errori, come il confronto tra numeri decimali con un numero diverso di cifre decimali (ad es. 3,2 e 3,12), e la moltiplicazione tra numeri minori di 1 (in cui il prodotto è minore dei fattori). Tematica affrontata: numeri e algoritmi. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – saper confrontare numeri espressi in vario modo (come frazioni, radici, numeri decimali); – saper individuare la posizione corretta dei numeri sulla retta; – saper riconoscere quando tra due numeri sono compresi infiniti altri numeri e, in tal caso, sapere elencarne alcuni; – comprendere il concetto di prodotto, adattandolo all’ambito dei numeri razionali e reali, e i suoi legami con l’ordine. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 5 ore. Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività affronta i problemi legati alle stime degli ordini di grandezza. In effetti, saper stimare correttamente un ordine di grandezza, o saper approssimare dei valori, rappresenta una difficoltà diffusa. Proponendo problemi anche legati a situazioni reali, si capisce che in certi casi è importante l’ordine di grandezza, mentre il numero di cifre significative diventa secondario. All’inizio dell’attività si introduce la notazione scientifica per rappresentare i numeri e si discute l’uso di questa scrittura per valutare l’ordine di grandezza. Si tratta di strumenti fondamentali per un cittadino, perché spesso arrivano dai mass media informazioni che vengono accolte con scarsa capacità di analisi e senza un adeguato “senso dei numeri”. Analizzando e ragionando su un importante tema d’attualità (“di quanto si innalzerebbe il livello dei mari se tutti i ghiacciai si sciogliessero?”), si affrontano in un caso concreto le diverse problematiche inerenti l’ordine di grandezza, la precisione, l’approssimazione. Tematica affrontata: numeri e algoritmi. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – conoscere le diverse rappresentazioni dei numeri e saperle utilizzare negli opportuni contesti; – operare con la notazione scientifica; – distinguere la rilevanza della precisione e dell’ordine di grandezza nella valutazione di un numero; – acquisire un “senso del numero” adeguato a valutare l’attendibilità di informazioni numeriche relative a situazioni reali. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 5-10 ore. Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

I nodi concettuali rappresentazioni diverse ed equivalenti di numeri razionali, concettualizzazione dei numeri reali, ordinamento e densità si riferiscono alla necessità che “a livello di ciclo secondario gli studenti, che negli anni precedenti hanno acquisito una buona comprensione dei numeri interi ed hanno una conoscenza generale dei numeri razionali e delle loro proprietà, inizino a lavorare con i numeri irrazionali, per arrivare poi alla conoscenza (a livello intuitivo) dei numeri reali e, contemporaneamente, alla comprensione del completamento della retta numerica” (“Matematica 2003” – Introduzione al nucleo Numeri e algoritmi). Questa attività propone una prima costruzione dei numeri reali, che sarà poi approfondita con l’attività “Numeri sulla retta“. Perché, quando si fotocopia un foglio A4, lo si può ingrandire esattamente su un foglio A3? E che c’entra questo con la matematica? A partire da queste domande si sviluppa un percorso che mostra la necessità di uscire dal mondo dei numeri razionali e costruirne di nuovi: i numeri irrazionali. Il percorso prosegue mostrando come sia possibile rappresentare mediante allineamenti decimali un qualsiasi numero reale e come si possano eseguire calcoli tra questi. L’attività integra aspetti di problem solving, di dimostrazione, di invenzione, di discussione matematica. Tematica affrontata: numeri e algoritmi; spazio e figure; argomentare, congetturare e dimostrare. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – dimostrare l’esistenza di grandezze incommensurabili; – costruire l’insieme dei numeri reali con il metodo degli allineamenti decimali; – operare con numeri approssimati, valutando l’attendibilità del risultato. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 5-6 ore. Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE ed è stato aggiornato grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

All’inizio del percorso di matematica il consolidamento delle conoscenze sui numeri naturali e sui numeri interi si presenta talvolta faticoso, perché gli studenti hanno la sensazione di “sapere già tutto” dei numeri. Da qui la necessità di un approccio che presenti aspetti nuovi e matematicamente pregnanti. In questa attività sono esaminate alcune proprietà dei numeri naturali ed interi, legate in particolare ai concetti di primalità e di divisibilità. Si tratta di concetti fondamentali che sono alla base di innumerevoli applicazioni in diversi campi delle attività umane, dall’arte all’informatica. Si parte dal campo artistico (i mosaici dell’Alhambra) e si conclude con la crittografia, attraverso metodi di codifica e decodifica “storici”. Il filo che collega il tutto sta nei concetti di primalità e divisibilità, gestiti tramite le congruenze. Si arriva anche alla giustificazione dei criteri di divisibilità, portando gli alunni a semplici ma importanti dimostrazioni in teoria dei numeri. Questa unità può essere svolta anche solo in parte, limitandosi a uno solo degli argomenti trattati, oppure presentando i diversi argomenti in momenti diversi. Tematica affrontata: numeri e algoritmi. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – migliorare la conoscenza dei numeri naturali e interi, con particolare attenzione alla divisibilità; – percepire la matematica come un prodotto del pensiero umano che evolve nel tempo; – proporre applicazioni inconsuete dei numeri primi. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6-8 ore. Si segnala che l’attività può essere svolta anche solo in parte, eventualmente presentando i diversi argomenti (poligoni stellati, divisibilità, numeri primi) in momenti diversi. Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.

L’attività è proponibile ad una seconda classe che abbia già affrontato le equazioni di primo grado in una e in due incognite. L’attività ha l’obiettivo di illustrare alcune applicazioni del MCD fra interi in contesti “non convenzionali”. Spesso il MCD viene proposto nelle prime classi in una breve parentesi, con l’unico scopo di ripassare la divisibilità numerica in vista del calcolo algebrico. Al termine del primo anno, e senz’altro nel corso della seconda classe, gli studenti possiedono i prerequisiti necessari per applicare il MCD in problemi tratti dal quotidiano, che coinvolgono semplici attività di confronto e misura. Partendo da domande come “è possibile determinare un intervallo di tempo di 13 minuti per mezzo di due clessidre, una da 6 e una da 11 minuti?”, si scoprono e si analizzano interessanti caratteristiche legate alla divisibilità. Contestualmente, si affrontano punti nodali dell’insegnamento del primo biennio, come le capacità di “mettere in formula” e di individuare le relazioni che intercorrono fra due variabili. Per questa via, utilizzando clessidre e righelli, si riesce a rispondere in modo costruttivo ed efficace ai vari problemi proposti. Tematica affrontata: numeri; porre e risolvere problemi; relazioni e funzioni. Grado scolastico: secondaria di II grado – primo biennio Obiettivi dell’attività: – saper affrontare un problema interpretando il testo, traducendo in simboli e relazioni matematiche le informazioni contenute e applicando opportune strategie risolutive; – riconoscere contesti di utilizzo del MCD fra due numeri; – risolvere equazioni con differenti molteplicità di soluzioni; – analizzare e interpretare un grafico; – conoscere ed utilizzare semplici procedure di controllo per verificare la correttezza della/e soluzione/i di un problema. Tempo medio per svolgere l’attività in classe: 6-8 ore. Questo oggetto è stato realizzato da INDIRE grazie ai contributi dei Fondi Strutturali Europei - PON 2007-2013 all'interno del progetto "M@t.abel" [B-10-FSE-2010-3].   Questo materiale è stato prodotto o revisionato nell'ambito e costituisce parte integrante dell'offerta formativa del progetto "Piano d'intervento per la riduzione dei divari territoriali in Istruzione-Formazione sulle Competenze di Base" - Programmazione dei Fondi Strutturali Europei 2014-2020 – Programma Operativo Nazionale plurifondo "Per la scuola competenze e ambienti per l'apprendimento" FSE/FESR-2014IT05M2OP001 – Asse I "Istruzione" – OS 10.2 "Miglioramento delle competenze chiave degli allievi" - Azione 10.2.7: Azioni di sistema per la definizione di modelli, contenuti e metodologie innovative. Codice Unico di Progetto CUP: B55F21003060006. Codice Progetto: 10.2.7.A4-FSEPON-INDIRE-2021-1.